Дотична звучить серйозно, але насправді це просто пряма, яка торкається графіка в одній точці. Ви бачите параболу, проводите до неї лінію так, щоб вона не перетинала криву поруч, а лише торкнулася. Рівняння цієї лінії і треба скласти.
Формула рівняння дотичної та геометричний зміст похідної
Загальне рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою x₀ виглядає так: y = f(x₀) + f'(x₀)(x – x₀). Існує і коротший запис тієї самої формули: y – y₀ = k(x – x₀), де y₀ = f(x₀), а k = f'(x₀). Обидва варіанти однакові. Вибирайте той, що зручніший.
Розберемо позначення. x₀ — це число, задане в умові. Точка дотику. f(x₀) — висота графіка в цій точці. Ви підставляєте x₀ у саму функцію. f'(x₀) — значення похідної в тій самій точці. Ви спочатку берете похідну, а вже потім підставляєте x₀.
Ось тут і ховається геометричний зміст похідної. Число f'(x₀) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної: k = f'(x₀) = tg α. Кут α — це нахил прямої до додатного напрямку осі Ox. Ви його очима бачите: пряма йде вгору — коефіцієнт додатний, йде вниз — від’ємний. Така дотична (не вертикальна) існує тоді, коли в точці x₀ є скінченна похідна, тобто графік у цій точці не має розриву й гострого зламу.
Окремий випадок — нульовий нахил. Якщо f'(x₀) = 0, дотична горизонтальна. Її рівняння дуже просте: y = f(x₀). Ніякого x справа вже немає.
Покроковий алгоритм складання рівняння дотичної
Порядок дій завжди один і той самий. Ви йдете за ним — і не губитеся навіть на контрольній.
- Знайти значення функції в точці дотику: обчислити f(x₀).
- Знайти похідну функції: f'(x).
- Обчислити значення похідної в точці дотику: f'(x₀) (кутовий коефіцієнт k).
- Підставити знайдені значення f(x₀), f'(x₀) та x₀ у формулу y = f(x₀) + f'(x₀)(x – x₀).
- Спростити вираз і звести рівняння до вигляду y = kx + b.
Тримайте поруч таблицю похідних степеневої функції, синуса, косинуса та експоненти. Тоді другий крок займає секунди. А відповідь одразу виходить у звичному вигляді прямої.
Приклади розв’язування типових задач
Теорія без чисел запам’ятовується гірше. Подивіться, як алгоритм працює на практиці.
Приклад 1. Складання рівняння дотичної у заданій точці x₀
Нехай f(x) = x² – 4x + 3, точка x₀ = 3. Спочатку шукаємо висоту: f(3) = 9 – 12 + 3 = 0. Отже, торкання відбувається в точці (3; 0). Далі беремо похідну: f'(x) = 2x – 4.
Підставляємо трійку вже в похідну: f'(3) = 2 · 3 – 4 = 2. Це кутовий коефіцієнт. Збираємо все у формулу: y = 0 + 2(x – 3). Розкриваємо дужки: y = 2x – 6. Перевірка проста: при x = 3 права частина дає 0. Точка (3; 0) справді лежить на прямій.
Приклад 2. Складання рівняння дотичної, паралельної до заданої прямої
Нехай f(x) = x² + 2x, а дотична паралельна прямій y = 4x + 5. Точка x₀ не дана. Її треба відновити. Паралельні прямі мають однаковий нахил. Тому вимагаємо f'(x₀) = 4.
Беремо похідну: f'(x) = 2x + 2. Прирівнюємо: 2x₀ + 2 = 4. Звідси 2x₀ = 2, x₀ = 1. Шукаємо висоту графіка: f(1) = 1 + 2 = 3. Підставляємо: y = 3 + 4(x – 1). Після спрощення y = 4x – 1. Кутовий коефіцієнт той самий, що в прямої y = 4x + 5, а вільний член інший — отже, прямі паралельні. Парабола торкається дотичної в точці (1; 3).
Типові помилки під час складання рівняння дотичної
Перша пастка — переплутати f(x₀) і f'(x₀). Кутовий коефіцієнт дає тільки похідна. Якщо ви підставите x₀ у звичайну функцію, нахил буде неправильним. Дивіться уважно, куди саме підставляєте число.
Друга пастка — знаки у виразі (x – x₀). Особливо коли x₀ від’ємне. Запис x – (-2) перетворюється на x + 2. Поспіх тут може коштувати бала. Третя пастка — залишити відповідь у нескороченому вигляді y = 3 + 4(x – 1). Учитель чекає чисту пряму y = kx + b.
Візьміть за звичку перевірку: підставте координати точки дотику (x₀; f(x₀)) в отримане рівняння прямої. Ліва і права частини зійшлися — усе добре. Не зійшлися — шукайте арифметичну помилку.
На чернетці рахуйте похідну окремо, великими символами. Більшість описок трапляється саме там, а не у формулі дотичної.
Рівняння нормалі до графіка функції
Нормаль — це пряма через ту саму точку (x₀; f(x₀)), тільки під прямим кутом до дотичної. Уявіть хрестик: одна лінія йде вздовж кривої, друга впирається в неї перпендикулярно. Ви вже знаєте f(x₀) і f'(x₀), тож додаткових складних обчислень не буде.
Для перпендикулярних прямих добуток кутових коефіцієнтів дорівнює -1: k_дотичної · k_нормалі = -1. Тому k_нормалі = -1 / f'(x₀), якщо f'(x₀) ≠ 0. Загальне рівняння нормалі: y = f(x₀) – (1 / f'(x₀)) · (x – x₀).
Візьмемо приклад з першої задачі: f(x₀) = 0, f'(x₀) = 2. Підставляємо: y = 0 – (1/2)(x – 3). Виходить y = -0,5x + 1,5. Перевірка: нахил дотичної 2, нормалі -0,5, добуток -1. Усе зійшлося.
